Lecture 8. 유도 & 제어 장벽 함수 (CBF)

"어디로 갈지" 결정하는 유도(guidance)와 "절대 부딪히지 않는" 안전 필터.

1. 유도란?

경로 계획(L6)이 큰 그림의 길을 정한다면, 유도는 매 순간 "다음으로 어느 방향을 봐야 하나?"를 결정합니다. 그 방향이 정해지면 제어기(L7)가 실제 모터에 명령을 보냅니다.

2. LOS (Line-of-Sight) 경로 추종

가장 단순한 유도법: 경로상에서 일정 거리 앞($L_a$)에 가상 목표점을 두고, 그쪽을 바라보도록 조향합니다.

$$ \delta = \arctan\!\left(\frac{k\, e_\text{ct}}{L_a}\right) $$

$e_\text{ct}$는 경로로부터의 직각 거리(cross-track error), $k$는 게인입니다. 해양 자율수상선(ASV)에서는 enclosure-based LOS 방식이 표준입니다 — 경로와 일정 반경 원의 교점을 바라봅니다(Fossen).

🎮 인터랙티브: LOS 경로 추종 (직선 경로)

직선 경로(초록)를 향해 선박(파랑)이 LOS로 접근합니다. 전방 주시거리 $L_a$와 게인을 바꿔 횡오차 수렴 속도를 비교해 보세요.

전방 주시 L_a 60 속도 U 2

3. 제어 장벽 함수 (CBF)

피드백 제어기(PID, Pure Pursuit)는 "얼마나 잘 따라가느냐"를 다루지, "절대 부딪히지 않도록"은 보장하지 못합니다. CBF는 이 간극을 수학적 안전 인증으로 메웁니다.

"안전한 영역"을 함수 $h(x) \ge 0$로 정의해봅시다. 예를 들어 장애물 중심 $(x_o, y_o)$에서 반경 $r$ 안에 들어가지 않으려면:

$$ h(x) = (x - x_o)^2 + (y - y_o)^2 - r^2 \ge 0 $$

그리고 이 안전 집합이 "앞으로도 침범되지 않도록" 다음 조건을 강제합니다.

$$ \dot{h}(x) + \gamma\, h(x) \ge 0 $$

이 조건을 만족하는 입력 $u$만 허용하면, 장애물에 가까워질수록 $\dot{h}$가 자동으로 커지면서 막아줍니다. 마치 보이지 않는 자기장이 로봇을 밀어내는 것과 같습니다.

일반적으로 $\gamma h$ 대신 class-K 함수 $\alpha(h)$를 씁니다. $\alpha$는 $\alpha(0)=0$이고 순증가 함수이면 무엇이든 가능합니다. 가장 흔한 선택이 $\alpha(h)=\gamma h$이며, $\gamma$가 클수록 장애물에 가까이 갈 수 있도록 허용합니다(공격적).

$$ \dot{h}(x, u) + \alpha(h(x)) \ge 0 $$

Forward invariance 정리 (Ames et al., 2017): 위 조건을 만족하는 $u$가 매 순간 존재하면, 초기에 $h(x_0)\ge 0$이면 모든 $t\ge 0$에서 $h(x(t))\ge 0$이 보장됩니다. 즉, 시작이 안전하면 영원히 안전.

실제로는 다음 QP(Quadratic Program)를 풉니다.

$$ u^* = \arg\min_u \|u - u_\text{nominal}\|^2 \;\;\text{s.t.}\;\; \dot{h} + \gamma h \ge 0 $$

왜 좋은가? — 사용자는 평소대로 자유롭게 명령을 내리고, CBF는 위험한 명령만 살짝 수정합니다. "안전 필터"라 부르는 이유입니다.

🎮 인터랙티브: CBF 안전 필터

로봇(파랑)이 왼쪽에서 오른쪽으로 x축을 따라 일정한 속도로 이동합니다. 경로상에 장애물이 있으면 CBF 안전 필터가 자동으로 명령을 수정해 y 방향으로 회피합니다. $\gamma$가 작을수록 일찍, 크면 늦게 회피합니다.

γ (보수성) 0.20 CBF 끄기 (충돌 발생!)

$\gamma$가 작으면 매우 일찍 회피하고(보수적), 크면 장애물에 거의 닿을 때까지 직진합니다(공격적). CBF를 끄면 명령을 그대로 따라 충돌합니다.

5. 코드 예제 (개념 의사코드)

import cvxpy as cp
import numpy as np

def cbf_filter(u_nom, x, obstacles, gamma=1.5):
    u = cp.Variable(2)
    constraints = []
    for (ox, oy, r) in obstacles:
        dx, dy = x[0]-ox, x[1]-oy
        h    = dx*dx + dy*dy - r*r
        hdot = 2*dx*u[0] + 2*dy*u[1]
        constraints.append(hdot + gamma*h >= 0)
    cp.Problem(cp.Minimize(cp.sum_squares(u - u_nom)), constraints).solve()
    return u.value

6. 더 깊이 공부하기

Ames, Xu, Grizzle, Tabuada, "Control Barrier Function based Quadratic Programs for Safety Critical Systems", IEEE TAC 2017 — CBF의 표준 정식화.
Ames et al., "Control Barrier Functions: Theory and Applications", ECC 2019 — 튜토리얼 논문.
Fossen, Handbook of Marine Craft Hydrodynamics and Motion Control, Wiley 2021 — LOS 유도의 해양 표준 교과서.
Breeden, Panagou, "High Relative Degree Control Barrier Functions Under Input Constraints", CDC 2021 — 고차 CBF.
CBF-CLF-Helper (MATLAB/Python) — Ames 연구실의 오픈소스 툴킷.

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Lecture 8. 유도 & 제어 장벽 함수 (CBF)

목차

1. 유도란?

2. LOS (Line-of-Sight) 경로 추종

🎮 인터랙티브: LOS 경로 추종 (직선 경로)

3. 제어 장벽 함수 (CBF)

🎮 인터랙티브: CBF 안전 필터

5. 코드 예제 (개념 의사코드)

6. 더 깊이 공부하기