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TCST 2024 — Cascade Tube-based MPC를 이용한 안전 보장 선박 접안

C. Lee, Q. V. Tran, J. Kim, IEEE Transactions on Control Systems Technology, 32(4), 1504–1511, July 2024. DOI: 10.1109/TCST.2024.3376228

1. 접안(Berthing)이란?

접안은 선박이 부두에 정박하기 위해 매우 저속(1 m/s 미만)으로 기동하며 부두·다른 배와 간격을 정확하게 맞추는 과정입니다. 어려운 이유는 세 가지:

• 저속일수록 제어력이 약함 — 러더와 프로펠러의 효율이 속도 제곱에 비례해 떨어짐.
• 외란이 상대적으로 큼 — 같은 바람이라도 저속에선 영향이 10배 이상 커짐.
• 안전 여유가 작음 — 부두·다른 배까지 수 미터도 안 되는 간격.

즉, "제어력은 작은데 외란은 크고 안전 여유도 거의 없는" 상황. 이런 조건에서 명목 MPC(외란이 0이라고 가정한 MPC)는 외란이 들어오는 순간 제약을 어길 수 있습니다.

2. 배경 — 왜 일반 MPC가 부족한가

L11 MPC에서 배운 표준 MPC는 상태 제약 $x \in \mathcal{X}$를 명목 궤적에만 적용합니다. 하지만 외란 $w \in \mathcal{W}$가 있으면:

실제 상태는 명목 궤적과 다릅니다. 한 스텝마다 편차가 누적되므로, 제약 경계 근처로 간 명목 궤적은 외란이 끼는 순간 제약을 위반합니다. "여유를 많이 둔다"로는 보장할 수 없고, 얼마나 여유를 둬야 하는지 수학적으로 계산해야 합니다.

3. Tube MPC 복습 (L12와 연결)

이 논문의 핵심 도구는 L12 고급 MPC에서 다룬 Tube MPC(Mayne, Seron, Raković 2005)입니다. 핵심 아이디어는:

• 실제 상태 $x_k$를 명목 상태 $\bar x_k$와 오차 $e_k = x_k - \bar x_k$로 분해.
• 보조 제어기 $u = \bar u + Ke$로 오차를 작은 집합 $\mathcal{S}$ (minimal Robust Positively Invariant set, mRPI) 안에 가둠.
• 명목 MPC는 원래 제약에서 $\mathcal{S}$만큼 당겨진(tightened) 제약을 풀도록 설계.

$\ominus$는 Pontryagin 차집합(집합 $A$에서 $B$의 모든 점을 빼도 여전히 $A$ 안에 있는 집합). 결론: 외란이 어떻게 들어오든 실제 상태는 항상 $\bar x_k \oplus \mathcal{S}$ 안, 즉 원래 제약 $\mathcal{X}$ 안에 머무릅니다.

4. Cascade 분해 — LTI surge + LPV sway-yaw

선박 동역학은 비선형 결합이 강해 통째로 Tube MPC에 넣기는 어렵습니다. 본 논문의 핵심 기여는 다음 종속 분해입니다:

1. Surge 서브시스템 — 전진 속도 $u$는 추력에만 영향을 받으므로 선형 시불변(LTI) 모델로 근사 가능: $$ \dot u = a_u u + b_u \tau_u + w_u $$ $w_u$는 전후 방향 외란(유체 저항 오차).
2. Sway-yaw 서브시스템 — 횡속 $v$와 요우율 $r$은 전진 속도 $u$에 강하게 의존하므로 선형 파라미터 변화(LPV) 모델로 표현: $$ \begin{bmatrix}\dot v\\\dot r\end{bmatrix} = A(u)\begin{bmatrix}v\\r\end{bmatrix} + B(u)\tau_r + w_{vr} $$ 여기서 $u$는 스케줄링 파라미터로 취급합니다. 즉 "현재 전진 속도 $u$"를 알면 LPV는 순간적으로 선형 시스템과 같이 다룰 수 있습니다.

이 분해 덕분에 두 개의 작은 선형 Tube MPC가 종속 구조(cascade)로 연결됩니다: 먼저 surge Tube MPC가 $u$를 결정 → 이 $u$가 sway-yaw LPV의 파라미터로 전달 → sway-yaw Tube MPC가 러더 입력을 결정.

5. RPI 집합 오프라인 계산

각 서브시스템마다 오차 동역학 $e_{k+1} = (A - BK)e_k + w_k$이 정의되고, 여기에서 mRPI 집합을 오프라인으로 계산합니다. 구체적 절차:

1. 외란 집합 $\mathcal{W}$를 박스로 정의 (바람·조류 최대 크기).
2. LQR 등으로 feedback gain $K$ 설계 (오차 동역학이 안정하도록).
3. $\mathcal{S}_{k+1} = (A-BK)\mathcal{S}_k \oplus \mathcal{W}$를 반복 계산해 수렴할 때까지 Minkowski 합.
4. 수렴한 집합 $\mathcal{S}_\infty$가 곧 mRPI.

LPV 서브시스템에서는 $A(u), B(u)$가 $u$에 따라 변하므로, 저자들은 $u$가 가질 수 있는 모든 범위를 이산화해 각 경우마다 별도 RPI를 계산하고 최악의 경우를 덮는 외포 튜브를 만듭니다. 이 부분이 LPV-Tube MPC의 기술적 난점이자 기여.

6. 실시간 실행과 안전 영역

런타임에는 매 샘플 시점에 두 개의 QP가 순차로 풀립니다:

1. surge QP: 현재 $u$를 측정 → 목표 속도 프로파일로 수렴시키는 $\tau_u$ 계산.
2. sway-yaw QP: 방금 결정된 $u$로 LPV를 고정 → 부두까지 접근하면서 위치·방위 제약을 만족하는 $\tau_r$ 계산.

저자들은 선박 주변에 사전 정의된 분리 영역(separation area)을 두고, mRPI를 포함한 확장된 안전 영역을 당겨진 제약으로 사용합니다. 이렇게 하면 실제 선박 몸체가 분리 영역을 절대 침범하지 않음을 재귀 실현가능성과 함께 수학적으로 증명할 수 있습니다.

7. 시뮬레이션 결과

저자들은 외란이 없는 경우(명목 MPC)와 외란이 있는 경우(Tube MPC)를 비교했습니다. 주요 결과:

• 명목 MPC는 외란이 주어진 순간 분리 영역을 침범 (최대 0.8 m 침범).
• Cascade Tube MPC는 외란 크기에 상관없이 한 번도 분리 영역을 침범하지 않음.
• 접안 성공률: 명목 40%, Tube 100%.
• 계산 시간: 두 QP를 합쳐 약 15 ms (10 Hz 실시간 가능).

8. 강의 연결 요약

📖 원문과 관련 자료

• C. Lee, Q. V. Tran, J. Kim, "Safety-Guaranteed Ship Berthing Using Cascade Tube-Based Model Predictive Control", IEEE Trans. Control Systems Technology, vol. 32, no. 4, pp. 1504–1511, Jul 2024. DOI
• Mayne, Seron, Raković, "Robust model predictive control of constrained linear systems with bounded disturbances", Automatica, 2005 — Tube MPC 원논문.
• Raković, Kerrigan, Kouramas, Mayne, "Invariant approximations of the minimal robust positively invariant set", IEEE TAC, 2005 — mRPI 수치 계산 방법.
• Hu & Ding, "Tube-based robust MPC for linear parameter varying systems with bounded disturbances", IEEE TAC, 2015 — LPV Tube MPC의 이론 기반.